И. Шарыгин

Решения на оценку никак не влияют

(Советы школьникам, собирающимся сдавать ЕГЭ)

Наконец-то! Не прошло и полгода после проведения ЕГЭ 2002 года, как широкая общественность получила возможность ознакомиться с материалами этого самого ЕГЭ, существовавшими ранее лишь в виртуальной форме. В руках у меня брошюра, выходные данные которой гласят: Единый государственный экзамен. Математика. Варианты контрольных измерительных материалов.

Авторы: Денищева Л.О., Бойченко Е.М. , Глазков Ю.А., Ишина В.И., Камаев П.М.,  Краснянская К.А., Мельникова Н.Б., Орлова Е.П., Рязановский А.Р., Семенов П.В.

В выходных данных указано также, что сборник предназначен для        "… выпускников общеобразовательных учреждений… учителей, методистов, работников органов народного образования и широкой общественности…". Не относясь формально ни к одной из упомянутых категорий предполагаемых пользователей, я все же хочу высказать свои замечания по поводу содержания этого сборника, чтобы предостеречь всех – от выпускников до представителей широкой общественности, – кто еще наивно полагает, что целью обучения математике является получение математического образования, а не сдача ЕГЭ.

Говорят, что в течение всего времени, прошедшего после проведения ЕГЭ до выхода брошюры, интенсивно устранялись многочисленные опечатки, ошибки и иные дефекты, имевшие место в исходных вариантах, то есть в настоящих экзаменационных вариантах. Иными словами, мы имеем дело, в некотором смысле, с лакировкой. Ну что ж, тем яснее уровень профессиональной подготовки авторов ЕГЭ.

Безусловно, по сравнению с материалами "Мониторинга" 2002 года, по которым оценивалась подготовка десятиклассников, участвующих в некоем эксперименте (авторство приписывается сотрудникам математического отдела НИОСО РАО  во главе с В.Г. Дорофеевым) прогресс очевиден. И все же.

С ЕГЭ спрос значительно больше, чем с "Мониторинга". Ведь Единый государственный экзамен должен не только  определить уровень подготовки выпускников соответствующего года, но и задать вектор развития школьной математики на ближайшие пару лет. На мой взгляд, математическая общественность вряд ли может согласиться с той математикой, которая навязывается школе через ЕГЭ 2002 года. Варианты ЕГЭ 2002 — мечта репетитора «средней» и «очень средней руки». В них произошло уничтожение геометрии и де-факто и де юре. Ведь две «ублюдочные» задачи, которые заявлены как геометрические, в действительности  весьма далеки от геометрии. Но и они не учитывались при выставлении оценок. И авторы вводят нас в заблуждение, уверяя, что за работу выставлялись две оценки и в одной из них были учтены все задачи, а это не так. Разница была лишь в том, что одна оценка давалась по 100-балльной шкале, а другая – по обычной четырехбалльной (2, 3, 4, 5).

Среди 23 оцениваемых задач 8 (или 9) относятся к разделу математического анализа. Но ведь все знают, что математический анализ в школе практически не изучается. И все вузы начинают свои курсы математического анализа с нуля, полностью игнорируя школьные знания по этому разделу. Иногда эти школьные знания даже мешают изучению анализа в вузе, поскольку переучивать всегда труднее, чем учить.

Охарактеризовать варианты ЕГЭ 2002 точнее всего можно одним словом: некультурно. Некультурно предлагать определить по куску графика функции, является ли эта функция четной или нечетной. Некультурно предлагать найти произведение корней уравнения, если один корень очевиден и равен 0. Но более всего характеристика «некультурно» относится к предлагаемым, надо полагать – в качестве эталона, решениям заданий варианта 10. Вот об этих решениях я и хочу  поговорить более подробно.

 Прежде всего, следует прямо заявить, что честно решить все задания за отведенные 210 минут невозможно. Но это и не требуется. Ведь в большинстве случаев надо найти лишь ответ. А вот это сделать несложно. Именно это обстоятельство еще ярче выявляет вред от подобных заданий. Страдает и математическое, и общекультурное развитие учеников. Уже многие репетиторы, для борьбы с которыми и создавался ЕГЭ, начали успешно обучать клиентов, как можно найти ответ, не решая задачу. Варианты, подобные тем, что предлагались в этом году на ЕГЭ вытесняют из образовательного процесса лучших учителей и наиболее высококлассных репетиторов, разбирающихся в сути математики.

И все же я попробую, некоторым образом усиливая вредоносность вариантов, показать, каким образом все (или почти все) задания можно выполнить, не решая задач. Ведь есть же такой метод – "доведение до абсурда".

Решения заданий варианта № 10

Вначале цитата из брошюры. "Напомним, что на проверку сдаются решения заданий из части 3. Решения заданий частей 1 и 2 выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют".

А1. Найдите значение выражения .

1) 1        2) 0                  3) 2,5               4) 4

"Решение". Поскольку числитель меньше 4 (каждый корень меньше 1), то дробь меньше 2 и не равна нулю. Верный № 1.

А2. Найдите значение выражения  при х = 16.

1) –1          2) 7                      3) –3                    4) 9

"Решение". Очевидно, значение дроби отрицательно. Вряд ли оно –1, поскольку числитель по абсолютной величине явно больше знаменателя. Верный ответ – 3).

А3. Укажите значение выражения  2 log₅75 + log₅.

1) 1            2) 2log₅3              3)               4) 0

"Решение". Поскольку похоже, что данное выражение больше 1, верным является вариант 2). Еще одно полезное соображение: в ответе должно остаться 3, поскольку 75 делится на 3, а 625 – нет.

Комментарий. В решении, приводимом в сборнике, имеется ссылка на формулы (сумма логарифмов равна логарифму произведения и др.) Это неточность. Соответствующие равенства нельзя рассматривать как формулы, поскольку у левой и правой частей разные области определения.

А4. Упростите выражение sin5a ×cos 4a + cos ( – a) – cos 5a×sin 4a.

1) sin9a – sina                     2) 2sina               3) 0 4) sin9a + sina

Здесь особо хитрить не следует. Единственная возможность ошибиться – спутать формулы синуса суммы и синуса разности. Ответ – 2).

А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 

= 6.

1) (–3; –2] 2) (–2; 0)             3) [2; 5)               4) [0; 2)

"Решение". Поскольку при х = 0 левая часть большая и очевидно больше правой, а при х = 2 степень положительна и левая часть меньше правой, верен ответ 4).

Комментарий. Авторы ЕГЭ многозначительно сообщают читателю, что в тестовых заданиях редко встречаются формулировки "Решите уравнения", поскольку оказывается (вот ужас!), что можно найти ответ, не решая уравнения.

Я же хочу обратить внимание на то, что в данном случае можно не пользоваться монотонностью левой части, поскольку о том, что корень единственен, сообщается в условии. Ну, а число 6 справа потому, что авторы признают лишь рациональные корни.

А6. Решите неравенство  log _0,3(4x – 15) ³ 0.

1) [4; +¥)  2) (-¥; 4)            3) (0; 4]               4) (; 4]

"Решение". Первые два варианта отпадают сразу (х не может быть ни бόльшим положительным, ни бόльшим отрицательным). Не подходит и вариант 3). При малом х (например, х = 0,01) под знаком логарифма отрицательное число. Правилен вариант 4).

А7. Найдите область определения функции у = .

1) (0; +¥)  2) (-¥; 10]           3) (0; 10]              4) (-¥; 0)

"Решение". Поскольку большие отрицательные х очевидно подходят, варианты 1) и 3) отбрасываем. Верен вариант 2) . Например, потому, что 1 входит в область определения. Можно также заметить, что справа в записи искомого промежутка должна стоять квадратная скобка, а в варианте 4) ее нет.

А8. Функция у = f(x) задана графиком на отрезке [–5; 4]. Укажите область ее значений.

1) [-5; 0]   2) [-5; 0)             3) (-5; 0)             4) [-5; 4)

Комментарий. Выпускник, обладающий остатками чувства собственного достоинства, должен воспринять эту задачу, как личное оскорбление. Первый вопрос, задаваемый в популярной телеигре "Как стать миллионером", и тот более интеллектуален.

А9. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения        2^х – 1 = –х.

1) (–1; 0)   2) [0; 1]                3) (1; 2)               4) [2; 3].

"Решение". Данное уравнение имеет очевидный корень 0 (о том, что корень единственен, нам любезно сообщили авторы). Верен вариант 2).

А10. На рисунке изображены график функции у = f(x)  и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной в точке х₀.

1) 1            2) 2                      3) 3                      4) –3

Комментарий. См. комментарий к задаче А8. И, кстати, почему в пункте 4) ответ –3?  Надо бы из эстетических соображений указать здесь ответ 4).

А11. Найдите f' (1), если  f(x) = ln x – 2cos x.

1) 1            2) –2 cos 1           3) 1 + 2 sin 1       4) 0

"Решение". Человек, краем уха слышавший про производную и краем глаза видевший несколько упражнений на эту тему, вынужден в качестве наиболее правдоподобного, выбрать вариант 3). Ведь в 1) и в 4) исчезла тригонометрия, а во 2) только она и осталась. И вообще, в ответе должны быть два слагаемых.

А12. Укажите первообразную функции f (x) = 3 – cos x.

1) F(x) = x³ – sin x                2) F(x) = –sin x  3) F(x) = 3x – sin x                         4) F(x) = 3x + sin x

"Решение". В этом случае авторы в своем комментарии признают, что верный ответ можно найти, взяв производные функций, перечисленных в ответах. Стоит добавить, что проверить достаточно только одну из предложенных функций, поскольку первые две явно не подходят.

А13. Решите уравнение 4 sin x + sin 2x = 0.

1) корней нет           2) 2pn, nÎ Z           3) pn, nÎ Z                              4) + pn, nÎ Z

"Решение". Поскольку p очевидно является корнем и входит только в вариант 3), он и является верным.

Далее следует часть В. Здесь надо найти ответ. Его поиск существенно облегчается тем, что ответ всегда есть число, притом число целое (других мы не знаем).

В1. Найдите длину промежутка возрастания функции f(x) = – x³ + 4x² – 15x.

"Решение". Делать нечего, придется брать производную. Приравняв ее к нулю, получаем уравнение : х² – 8х + 15 = 0, корни которого 3 и 5. Следовательно, ответ 5 – 3 = 2. Ведь в данном случае ответ – целое и положительное число. А других точек, кроме 3 и 5, ограничивающих наш промежуток взять неоткуда.

Комментарий. Впрочем, можно поступить и еще циничнее. Поскольку свободный член получающегося квадратного уравнения равен 15, а корни наверняка целые, то они равны делителям 15. Понятно, что подходят 5 и 3.

В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой у = 3(х + 1) и параболой у = 6 + 3х – 3х².

Решение. Приведу коротко нормальное решение этой задачи, тем более, что в брошюре дается образец того, как не надо решать эту задачу. (Желающие могут убедиться в этом самостоятельно.) Рассмотрим разность данных функций (второй и первой). Получим 3 (1 – х²). Нам надо найти площадь сегмента между осью абсцисс и полученной параболой. Нетрудно получить, что эта площадь равна 4.

Комментарий. Впрочем, нужный ответ можно получить, и не интегрируя функцию 3(1 – х²), а исходя из примитивных оценок. Ведь ответ — натуральное число, которое очевидно больше 3 и меньше 6. 5 — вряд ли подходит, не делится на 2.

В3. Сколько корней имеет уравнение (sin x + cos x)² = 0?

Решение. Два корня очевидны, это +1 и –1. Понятно, что х по абсолютной величине не больше 1. Первый множитель на отрезке [0; 1] в нуль не обращается, синус и косинус в первой четверти положительны. На отрезке
[–1; 0] синус отрицателен, косинус положителен, при х = – их сумма нуль. Значит, ответ на вопрос: 3.

Комментарий. Вновь авторы сборника в своем решении и комментарии демонстрируют дурной вкус. Они находят общее решения уравнения sin x +
+ cos x = 0, а затем с помощью неравенств отбирают то, которое входит в область определения. Хочу добавить также, что ответ 3 с большой вероятностью угадывался. По принципу 2 корня мало, а 5 – много.

В4. При каком наибольшем значении а функция f(x) = –x³ + ax² – 3ax – 11 убывает на всей числовой прямой?

"Решение". Возьмем производную. Получим квадратный трехчлен. Его дискриминант (зависящий от а) обращается в 0 при а = 0 и а = 9. Таким образом, ответ 9, поскольку других ограничений на а не видно, а 0 не может быть наибольшим.

В5. Пусть (х₀; у₀) – решение системы .

Найдите сумму  х₀ + у₀.

"Решение". Сразу видно, что пара (0; 1) является решением. Начав перебирать, мы с первого шага наткнемся на эту пару. Итак, ответ 1.

Комментарий. Все предлагаемые авторами ЕГЭ рассуждения на тему монотонности оказываются вовсе ни к чему, поскольку единственность ответа задается условием задачи.

В6. Найдите значение выражения  tg²(5arctg – 0,25 arcsin ).

"Комментарий". Поскольку ответом должно быть целое положительное число, а угол в скобках "хороший", то в результате должно быть 1 или 3. В данном случае ответ 1.

В7. Найдите наименьшее значение функции g (x) = log _0,5 (8 – x²).

“Комментарий”. Здесь два подвоха. Использование для обозначения функции нестандартной буквы g и непривычный ответ –3.

В8. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9.

Комментарий. Геометрические задачи можно было и не решать. Впрочем, получить ответ здесь очень легко, поскольку обычно в тестах используется прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (реже 5, 12 и 13) или подобный ему. В данном случае мы имеем дело с треугольником 3×5 = 15,
4×5 = 20 и 5×5 = 25.

В9. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Боковое ребро BS перпендикулярно плоскости основания и равно ребру основания. Найдите градусную меру угла между боковым ребром FS и плоскостью основания.

"Решение". Выполнив аккуратный чертеж, мы убедимся, что искомая градусная мера меньше 45, поскольку малая диагональ правильного шестиугольника (BF) больше его стороны. Значит, ответ 30. Деваться некуда.

Итак, мы добрались до последней части – группы заданий С. В этих трех задачах надо было предъявить полное решение. Тут уж ни-ни, вольности не допускаются. Я, правда, не уверен, что устроители ЕГЭ сумели добиться полного единообразия в оценке. Да в этом и не было нужды, поскольку за решение этой группы принимались единицы. Но все же интересно посмотреть на эталонные решения, предлагаемые авторами сборника.

С1. Решите уравнение 3^{16 + х}× 4^{4 + х}×5^3х = 540 ^{8 – х}.

Комментарий. Это вполне рутинное уравнение. Раскладывая 540 на простые множители, среди которых оказываются лишь 2, 3 и 5 (не правда ли, неожиданно?) и разделив левую часть на правую, получаем уравнение:

(2×3×5)^{4х – 8} = 1. Далее авторы убеждены, что следует воспользоваться монотонностью показательной функции. А если прологарифмировать по основанию 30?

С2. Найдите множество значений функции у = sin 2x, если xÎ[arctg ; arctg 2].

Комментарий. В решении, приведенном в брошюре, нигде не говорится, что  принадлежит указанному промежутку. А этот факт все же заслуживает хотя бы упоминания. Но особенно удивляет то, как авторы вычисляют значение заданной функции на краях данного промежутка. Они, вероятно, не знакомы со стандартными формулами, выражающими синус двойного угла через тангенс.

Ну и, напоследок, как и положено, задача с параметром, из категории ультра-си.

С3. При каких значениях а сумма log_a( + 1) и log_a( + 7) меньше единицы при всех допустимых значениях х?

Решение. (Сравните с решением, приведенным в брошюре). Поскольку, при 0 < а < 1 оба логарифма не положительны (под знаком логарифма числа больше 1), все эти а подходят. Пусть теперь а > 1. В этом случае log_at функция монотонно возрастающая. А поскольку наибольшее значение каждого логарифма достигается при х = 0, необходимо и достаточно, чтобы при этом значении переменной сумма логарифмов была меньше 1. Получаем неравенство log_a2 + log_a8 < 1 (при а > 1). Откуда, а > 16.

Комментарий. Не умеешь, не берись.

Заключение. Мне могут сказать, что показанные мною приемы угадывания ответа, свидетельствуют об определенном профессионализме. И если бы школьники умели так делать, то… Но я просто продемонстрировал некие возможности. На реальном экзамене вовсе не требуется угадывать все ответы. Достаточно несколько раз разумно уменьшить число перебираемых вариантов, а затем выбрать из оставшихся наугад. И тогда хорошая оценка тебе просто гарантирована. Но можно и без этого обойтись. Говорят, что для получения оценки 3 достаточно было решить… виноват – угадать четыре ответа. Например, в рассматриваемом варианте можно получить 5 попаданий, просто указывая всюду число 1. Проверяющий наверняка обратил бы внимание на столь странную работу. Компьютер же автоматически выставит положительную оценку.

 И еще. Подобные варианты очень вредны сильному школьнику. Они принуждают его к халтуре, отучают от необходимости четко формулировать свои мысли, анализировать задачу и от многих других, очень важных вещей.  ЕГЭ (в данной форме) разрушает математическую культуру в нашей школе, и я обращаюсь к учителям и школьникам (поскольку Минздрав по этому поводу молчит):

Помните, ЕГЭ опасен для вашего математического здоровья!