Цели, задачи и стандарты

математического образования

Стандарт для развития

И.Ф. Шарыгин,

Источник: Вопросы тестирования в образовании, 2003, №6, стр. 187-194.

Аннотация

Обсуждаются задачи математического образования в нашей стране на современ­ном этапе ее развития.

1. Введение

Общие цели образования в соответствующий исторический момент в каждой стране, очевидно, зависят от социальной и политической ситуации и пред­полагаемых путей развития страны. Понятно, что в стране со стабильной и высокоразвитой экономикой, с высоким уровнем жизни большей части на­селения важнейшей задачей образования является воспроизводство социаль­ной системы. При этом сам уровень образования может и не быть высоким и общая образованность, необходимая в производстве, может поддерживаться за счет импорта специалистов. В странах же менее развитых экономически, с низким уровнем жизни, ставящими своей целью социально-экономическое развитие общества, едва ли не единственным способом осуществить такое развитие за счет лишь внутренних резервов является путь через развитие системы образования. (Принятию этого постулата отечественным, так на­зываемым, элитам мешают наши природные ресурсы, и именно отсутствие подобных ресурсов вынудило Китай энергично развивать именно систему об­разования).  При этом страна с хорошей системой образования может исполь­зовать его (образование) не только для своих внутренних потребностей, но и как дополнительный ресурс на внешнем рынке.

Итак, будем считать, что важнейшей целью образования сегодня является развитие нашей социально-экономической (и политической?) системы. Но по­скольку система образования имеет дело с отдельными личностями, развитие социальной системы возможно прежде всего через развитие личности.

Таким образом, развитие ученика (личности) является важнейшей целью образования (возможно, не единственной). Но если важнейшей целью обра­зования является развитие личности, то образовательный стандарт никак не может сводиться к списку минимальных требований к подготовке учаще­гося. Особо опасен минималистский подход к образовательным стандартам именно в отношении математики. Ведь математика является важнейшим (са­мым важным?) системообразующим предметом. Чтобы развивать современ­ное производство, современные технологии, чтобы управлять современным производством, чтобы принимать верные социально-политические и управ­ленческие решения и прочее и прочее, необходимы не только глубокие мате­матические знания, но, в первую очередь, владение математическим методом.

Существует мнение, что высокий уровень математического образования нужен лишь научно-технической элите, а для большинства населения мож­но ограничиться минимальным уровнем. Это очень опасная точка зрения. Во-первых, хорошее математическое образование полезно представителям са­мых разных специальностей, в том числе и весьма далеким от математики, способствует достижению личного успеха. И примеров тому очень много. Во-вторых, невозможно на школьной скамье определить, кто войдет в будущем в упомянутую элиту, а кто - нет. Даже ставить такую задачу безнравственно. И, наконец, в-третьих, если представить систему математического образования в виде горы, вершина которой соответствует элите, то, чтобы эта вершина на­ходилась на высоте, соответствующей современным требованиям, необходимо правильно выстроить эту гору. Опуская подножие, мы опускаем и вершину.

Принято считать, что российское математическое образование является едва ли не лучшим в мире. Такого мнения придерживаются многие россий­ские и зарубежные специалисты. Мы полагаем, что, несмотря на очевидный спад, произошедший за последнее время, российское математическое образо­вание сохранило свой высокий уровень и обладает еще большим потенциалом для своего развития. И нужны для этого весьма незначительные финансовые вложения. Эффект же, причем экономический эффект, может оказаться су­щественным. Мы вправе рассматривать наше математическое образование, как весьма мощный стратегический ресурс России. При этом в качестве стра­тегического ресурса математика и математическое образование могут высту­пать и внутри России и на внешнем рынке. (В условиях глобализации Россия может специализироваться на экспорте нефти и математики.) Но в таком случае вопрос о том, какими должны быть стандарты математического обра­зования, выходит далеко за узко-предметные рамки и становится важнейшим общественно-политическим вопросом.

Понятно, что заявить в качестве образовательного стандарта по математи­ке повышенный уровень (уровень специализированных математических клас­сов) нереально. Понимание же стандарта как минимального уровня, как уже было сказано, стратегически неверно. Будем считать, что образовательный стандарт (по математике) должен соответствовать нормальному, программ­ному уровню, проще говоря, четверке. От этой площадки, отступив вниз, мы получаем минимальный уровень (тройку). Ступенька вверх и далее - полу­чаем высокий уровень, пятерку. Безусловно, минимальный уровень следу­ет ограничить снизу. Основным инструментом измерения соответствия тому или иному уровню является задача. Некоторое исключение составляет уро­вень минимальный, где не менее важным мы считаем знание и понимание теории. Более подробно об идеологии и технологии определения уровней мы расскажем в соответствующем разделе.

Из этого следует, что при разработке стандарта математического обра­зования важно не просто определить содержание математических курсов, а определить в некотором смысле оптимальное содержание, которое в наи­большей мере будет способствовать общематематическому (и не только) раз­витию учащихся. И при определении содержания вредными могут оказать­ся оба подхода, как минимизация содержания математического образования, так и его чрезмерное разрастание. На минимальном содержании невозмож­но развитие математической культуры, освоение математического метода по понятным причинам (из нескольких щепочек костер не получится). Но так­же нельзя хорошо освоить математику, развить математическую культуру при перегруженной программе. Чрезмерное обилие изучаемых тем приведет к тому, что каждая из них будет изучаться формально и поверхностно. При отборе содержания основным критерием должна быть значимость того или иного раздела для общематематического развития учащегося. Отсюда можно вывести концентрический принцип определения содержания математических курсов и построения стандартов математического образования. На периферию отправляются менее значимые темы и разделы.

Очевидно также, что эффективность обучения математике в решающей

степени определяется объемом часов, отводимых на ее изучение. В настоя­щий момент математическая экспертиза указывает в качестве нижней грани, после которой эффективность изучения математики в школе начнет резко снижаться, 6 часов в неделю в основной и старшей школе.

Заметим, что стандарты по различным предметам нельзя подгонять под единый концептуальный трафарет, разрабатывать по единой схеме. Сегодня в школе мы имеем предметы, которые можно разделить на четьре цикла (типа): гуманитарный, естественно-научный, математический и физкультурный. Особенность математики, которая должна отражаться и в соответствующих стандартах, в том, что в ней явно видны черты, характерные для предметов всех других циклов, а также и черты, типичные именно для математики.

Стандарты математического образования следует разбить на несколько групп. Во-первых, стандарт для базовой школы и стандарт для углублен­ного изучения математики. Во-вторых, стандарт для результата обучения и стандарт для процесса обучения. Представляется разумным не разрабаты­вать специально стандарт для углубленного изучения математики, а сделать добавление (сверху) к стандарту базовой школы, сдвинув при этом измери­тельную шкалу. Что касается связи между процессом и результатом обуче­ния, то очевидным является утверждение, что для достижения необходимого результата процесс обучения доложен вестись на более высоком уровне, чем тот, который мы хотим видеть в итоге, хотя, конечно, мы не должны его завы­шать и создавать разрыв между стандартами для процесса и для результата. Кроме того, качество процесса обучения зависит от качества учебников. Но еще больше оно зависит от подготовки учителя, от нагрузки, ложащейся на учителя, и, наконец (а может, и в первую очередь), от его материального положения. Но это уже совсем другой вопрос.

2    Цели и задачи обучения математике

Определение основных целей математического образования - есть очень важ­ная социально-политическая задача. Здесь особенно опасны узко ведомствен­ные и групповые подходы. От того, насколько правильно общественность (и не только математическая) сможет сформулировать эти цели, во многом за­висит будущее нашего математического образования, будет ли оно развивать­ся и процветать или же, наоборот, будет болеть и (продолжать?) деградиро­вать.

К сожалению, имеющаяся Концепция математического образования не да­ет точного и определенного ответа на вопрос о целях математического об­разования, а некоторые утверждения, содержащиеся в ней, вызывают и се­рьезные возражения со стороны специалистов. Скажем прямо, определение со всей полнотой целей математического образования не входит в функции разработчиков образовательных стандартов (это было бы превышением пол­номочий). Но в этом и нет большой необходимости. И мы ограничимся тем, что сформулируем две важнейшие цели, которые очевидно не могут вызвать никаких возражений.

Прежде всего, целью математического образования является развитие уча­щихся, причем развитие самых разных видов:

- Культурное развитие. Математика вообще и геометрия в частности являются феноменом мировой, общечеловеческой культуры. Человек, не по­лучивший достаточного математического образования, не может считаться культурным.

- Духовное развитие. Математика возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. Многие религии и религиозные культы мира полагают, что математическое знание имеет высшее, Божествен­ное происхождение. Духовно развитый человек должен иметь достаточное математическое образование.

- Эстетическое развитие. Математическое знание, теории, методы и факты образуют удивительно цельный, гармоничный и непротиворечивый мир, заполненный удивительными творениями человеческого гения, способ­ствуют эстетическому развитию (воспитанию) человека.

- Нравственное развитие (воспитание) . В основе математического зна­ния лежит принцип доказательности, один из самых нравственных принци­пов, созданных мыслящим человечеством. Занятия математикой (по мнению Льва Толстого) способствуют нравственному воспитанию, развивают добро­детели. А если говорить об идеалах демократии, то мы вправе утверждать, что именно в математическом сообществе эти идеалы реализуются с наиболь­шей полнотой и именно благодаря принципу доказательности, регулирующе­му взаимоотношения в этом сообществе.

- Творческое развитие. Процесс занятий математикой способствует раз­витию интуиции и воображения (здесь особо следует выделить геометрию), а следовательно, способствует творческому развитию, поскольку в основе лю­бого творчества лежат воображение и интуиция.

- Интеллектуальное развитие. То, что именно математика среди всех учебных предметов наиболее способствует интеллектуальному развитию уча­щихся общепризнанно и общеизвестно (следует добавить, что именно матема­тика обычно используется как инструмент для измерения интеллектуального развития ученика). Здесь, безусловно, важную роль играют математическое знание и математический метод (об этом в следующем пункте), но не только. Уже сам процесс занятий математикой обладает огромным развивающим по­тенциалом. Что касается геометрии, то можно утверждать, что исторически (для всего человечества) и генетически (для отдельного человека) геометри­ческая деятельность является первичным видом интеллектуальной деятель­ности. Для полноценного интеллектуального развития ребенку необходима полноценная интеллектуальная пища, каковой и является математика. Здесь следует добавить, что математика (геометрия особенно) представляет собой экологически чистую интеллектуальную пищу. А это особенно важно сего­дня, когда окружающая среда, в том числе и образовательная, подвергается всякого рода загрязнениям.

Безусловно, важнейшей целью математического образования в школе яв­ляется приобретение знания и овладение математическим методом.

- Математика, как мы знаем, развивает такие важнейшие механизмы мышления, как интуиция и воображение, и вооружает логическим методом, основным методом, с помощью которого обосновывается истинность или лож­ность утверждений. Изучение логического метода - одна из важнейших целей обучения математике.

- Два основных раздела математики, изучаемых в школе, алгебра и гео­метрия являются также и носителями собственных методов познания мира. И изучение, и освоение этих методов является важнейшей целью математи­ческого образования.

 -За последнее время в мире и у нас в стране резко упал уровень ариф­метического знания и арифметической культуры. Основная причина вполне объективна - широкая компьютеризация и всеобщая калькуляторизация. Но, с другой стороны, многие современные (и даже суперсовременные) техно­логии основаны на глубоких арифметических законах. Следовательно, сле­дует не только восстанавливать былой уровень арифметической подготовки школьников, но и повышать его по сравнению с прошлым и, прежде всего, не столько в направлении улучшения вычислительных навыков - устных или на бумажке, - сколько в усилении роли теории арифметики, теории чисел.

 -В математике и математическом образовании явно видны два направле­ния: идеалистическое и практическое, прагматизм. Причем обычно имеется в виду сиюминутный прагматизм, утилитарный. И этот акцент типичен для за­падных образовательных систем. Для российского менталитета вообще и для российского математического образования, в частности, типична склонность к идеализму. Мы полагаем, что можно достичь определенного равновесия между идеалистической и прагматической составляющими в нашем матема­тическом образовании. Основой для этого может стать традиционная для российской школы текстовая, а точнее, сюжетная задача. Правда, обычно смысл этих задач состоит в том, что учащемуся дается условие, представля­ющее собой некую достаточно упрощенную и примитивную модель реальной ситуации, заданную в вербальной форме, которую требуется сначала переве­сти на математический язык, то есть ввести неизвестные и составить систему ограничений (уравнений и неравенств), а затем решить эту систему. (Следу­ет подчеркнуть, что составление ограничений по заданному условию не есть составление модели, а перевод с одного языка на другой.) По сути, важней­ший этап - составление моделей - в этих задачах отсутствует. И здесь следует пополнить традиционный список текстовых - сюжетных задач задачами, в которых акцент делается на составление математической модели.

- Математика является основным языком, на котором говорит современ­ная наука, который постоянно используется в самых различных областях де­ятельности человека и на всех этажах современной цивилизации. И обучение этому языку, его основным диалектам, алгебраическому и геометрическому, - важнейшая цель математического образования.

За последнее время здание человеческой цивилизации значительно вырос­ло и в высоту, и по числу помещений на верхних этажах. Как показывают недавние социологические исследования, нынче образованному человеку в первые 20-25 лет своей самостоятельной жизни приходится 4-5 раз карди­нальным образом менять вид своей профессиональной деятельности. Но для того, чтобы молодой человек, окончивший школу, не только обладал свободой выбора, но и возможностью эту свободу реализовать, необходимо улучшить его фундаментальную подготовку, а это, в свою очередь, означает, что необ­ходимо улучшать общематематическую подготовку выпускников школы.

Сегодня в нашей стране по сравнению с советским периодом резко возрос­ли возможности для проявления личной инициативы, человеку приходится регулярно принимать важные решения и при этом нести полную ответствен­ность за качество принятых решений. Современные производства, фирмы и предприятия остро нуждаются в работниках и руководителях, способных быстро и правильно решать возникающие постоянно конкретные задачи, име­ющих достаточное образование и научную культуру, чтобы оценивать новые достижения науки, вести полноценный диалог с учеными, сотрудничать с ними при постановке новых задач. Именно эти качества вырабатываются в процессе обучения математике. Высокий уровень математического образова­ния, достигнутый при советской власти, может помочь нам при воспитании работников нового поколения, соответствующих новым общественным, соци­альным и экономическим задачам. Математика - это инструмент, который в равной мере может быть использован как тоталитарным режимом для раз­вития военно-промышленного комплекса, для создания армии инженерных работников, так и государством с рыночной экономикой для развития сферы обслуживания и производств, непосредственно улучшающих качество жиз­ни человека. Однако следует признать, что при разработке математических стандартов мы обязаны учесть изменившиеся реалии нашей жизни.

Важнейшей задачей является создание положительного образа матема­тики и у широкой, как говорится, общественности в целом, и у отдельных ее представителей. Молодые люди, оканчивающие школу и высшие учебные заведения, должны понимать наличие прямой связи между уровнем их мате­матической культуры, математической образованности и личным успехом в жизни. Конечно, здесь математикам потребуется серьезная государственная поддержка. Но есть и еще одна задача, и ее решение почти целиком зави­сит именно от математического сообщества. Необходимо, чтобы упомянутые молодые люди по окончании школы вспоминали о математике, как об од­ном из самых интересных, живом и (если угодно) веселом предмете. И когда мы слышим публичные признания в нелюбви и даже ненависти к школьной математике (от самих ли школьников или от взрослых), мы должны вос­принимать это как серьезный упрек в наш адрес, в адрес учителей, авторов учебников, ученых и методистов всех уровней.